Родился в 4-м Жехсогонском наслеге Ботурусского (ныне Таттинского) улуса.
Окончил реальное училище в г. Якутске.
Работал учителем в разных улусах.
Назначен комиссаром Временного правительства по Верхоянскому округу.
Работал учителем в Качикатцах и Черкехе.
Сотрудник подотдела исследования Сибири Якутского губревкома.
Назначен заведующим литературно-художественной секцией Наркомпроса Якутской АССР, сотрудником Якутского краевого географического общества.
Делегат от Якутской АССР на I тюркологический съезд в Баку.
Умер от болезни в Москве. Похоронен на Даниловском кладбище.
Литературный псевдоним поэта Өксөкүлээх Өлөксөй с якутского языка можно перевести как Орел Алексей. Эта птица имеет сакральное значение в культуре народа саха.
Первые произведения Кулаковского «Вправе ли русские гордиться своим именем?» и «Главнейшие достоинства поэзии Пушкина» были написаны в 1897 г. на русском языке.
В 1900 г. им было написано первое в якутской литературе поэтическое произведение «Байанай алгыһа» («Заклинание Баяная»).
В 1910 г. написал поэму «Сон шамана», который считается вершиной творчества А. Е. Кулаковского.
Собрал и обработал на якутском, русском и латинском языках большой материал «Виды животного и растительного царств, известные якутам», тем самым первым в Сибири создал научную классификацию флоры и фауны.
По некоторым данным, во время этнографических экспедиций он преодолел расстояние, равное двум кругосветным путешествиям.
Письмо «Якутской интеллигенции» написано в 1912 г. в с. Качикатцы Хангаласского улуса и адресовано друзьям А.Е. Кулаковского: выборному голове Ботурусского улуса Илье Башарину, основателю Кытанахской школы Савве Собакину, одному из первых дипломированных врачей из якутов Прокопию Сокольникову, общественному деятелю Григорию Турнину, писарю Батурусской инородной управы Василию Шестакову.
Указом Президента Республики Саха (Якутия) М. Е. Николаева от 3 марта 1992 г. учреждена Государственная премия имени А. Е. Кулаковского.
В г. Москве памятник на могиле Кулаковского установили в 1992 г., спустя 65 лет после выхода Указа Центрального исполнительного комитета и Совета народных комиссаров ЯАССР об увековечении имени выдающегося поэта от 9 июля 1927 г.
Имя А. Е. Кулаковского присвоено: Жохсогонской общеобразовательной школе Таттинского улуса, Республиканскому центру культуры и искусства (ныне Дом дружбы народов имени А. Е. Кулаковского) в Якутске, улицам в городах Якутске (1967), Вилюйске.
Общая высота памятника А. Е. Кулаковскому в г. Якутске составляет 3 м. Монумент выполнен в виде фигуры писателя, сидящего на основании древа и погруженного в думы. По словам автора скульптуры А. А. Романова, дерево символизирует народ саха.
