Поступил в церковно-приходскую школу в Вилюйске.
Окончил Высшее начальное училище в Вилюйске.
Учился в Якутской учительской семинарии.
Член Якутской объединенной организации РСДРП, ее революционной фракции. Организовал 1-ый Совет рабочих депутатов в г. Вилюйске.
Арестован бандой белых и заключен в Якутскую тюрьму.
Назначен уездным комиссаром Вилюйского уезда, руководил установлением советской власти в Вилюйском округе.
Нарком внутренних дел ЯАССР, начальник Облотдела ОГПУ.
Делегат 1-ой Сибирской Краевой партконференции.
Делегат XIII съезда РКП(б) от Якутской партийной организации.
Исполняющий обязанности председателя Совнаркома ЯАССР.
Народный комиссар внуторга, по совместительству врид должности секретаря Якутского обкома ВКП(б).
Окончил Промышленно-экономический институт им. А. И. Рыкова в г. Москва.
Председатель Совета Народных комиссаров ЯАССР.
Начальник (временно) Якутского городского жилищного управления. Избирался членом ЦИК Якутской республики нескольких созывов, участвовал в ряде съездов Советов Якутии.
Был арестован по процессу «двадцати пяти».
Приговорен к расстрелу, который в мае 1941 г. заменили на восемь лет заключения в исправительно-трудовом лагере поселка Певек на Чукотке, на руднике «Валькумей».
Военный трибунал (тройка) войск НКВД по Дальстрою приговорил к расстрелу.
Приговор приведен в исполнение.
Решением Президиума Верховного суда Якутской АССР Степан Максимович Аржаков был посмертно реабилитирован.
Во время учебы в Якутской учительской семинарии был членом нелегального социал-демократического кружка Емельяна Ярославского. Здесь он подружился с Платоном Ойунским, Максимом Аммосовым, Исидором Бараховым и др.
С. М. Аржаков был одним из инициаторов получения автономии Якутии.
Совместно с П. А. Ойунским и др., был автором «Декларации прав и обязанностей трудящихся Якутской АССР».
С. М. Аржаков одним из первых якутских руководителей получил высшее экономическое образование.
Его отец Максим Ильич Аржаков был талантливым кузнецом.
Жена – Аржакова-Бубякина Варвара Ивановна (1900-1990).
Дети: Клара, Аида, Галилей.
Имя С. Аржакова было присвоено: Вилюйскому центру содействия семейному воспитанию, пассажирскому теплоходу, который курсировал из Якутска в Нижний Бестях, ювелирному алмазу весом 67, 41 карат, добытому на руднике кимберлитовой трубки «Мир» Мирнинской ГОК, улицам в г. Якутске, Вилюйске, селе Чинеке Вилюйского улуса.
В октябре 1957 г. бывший Пионерский переулок Якутска был переименован в улицу Степана Аржакова.
Почётный гражданин Вилюйского улуса.
Мемориальные доски в г. Вилюйске и Якутске.
Памятники в селе Чинеке Вилюйского улуса, в г. Вилюйске и Якутске.
Открытие памятника С. М. Аржакову в Якутске, созданное по инициативе главы Вилюйского района Сергея Винокурова, было приурочено ко Дню государственности Якутии 27 сентября 2019 г. На открытии памятника приняли участие внучка и правнук Степана Аржакова – Юлия Усик и Александр Усик.